空集是任何集合的子集
2022-01-24 21:32:23
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。空集不是无;它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子,而空集的袋子是空的,但袋子本身确实是存在的。
【空集性质】
对任意集合A,空集是A的子集:?A:??A;
对任意集合A,空集和A的并集为A:?A:A∪?=A;
对任意非空集合A,空集是A的真子集:?A,若A≠?,则?真包含于A。
对任意集合A,空集和A的交集为空集:?A,A∩?=?;
对任意集合A,空集和A的笛卡尔积为空集:?A,A×?=?;
空集的唯一子集是空集本身:?A,若A???A,则A=?;?A,若A=?,则A???A。
空集的元素个数(即它的势)为零;
特别的,空集是有限的:|?|=0;
对于全集,空集的补集为全集:CU?=U。
集合论中,若两个集合有相同的元素,则它们相等。所有的空集都是相等的,即空集是唯一的。
考虑到空集是实数线(或任意拓扑空间)的子集,空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集。另外,因为所有的有限集合是紧致的,所以空集是紧致集合。